Stetigkeit Topologie Beispiel Essay

Teilmengen in einem metrischen Raum

Definition 

Sei ein metrischer Raum, und eine positive reelle Zahl. Es ist

die offene und

die abgeschlossene-Kugel um .

Natürlich müssen Kugeln nicht unbedingt kugelförmig aussehen, aber sie tun es in der euklidischen Norm. Für ist einfach das beidseitig offene Intervall und ist einfach das beidseitig abgeschlossene Intervall .

Definition 

Sei ein metrischer Raum. Eine Teilmenge heißt abgeschlossen, wenn das Komplementoffen ist.

Achtung! Abgeschlossen ist nicht das „Gegenteil“ von offen. Die „allermeisten“ Teilmengen eines metrischen Raumes sind weder offen noch abgeschlossen, es gibt aber auch Teilmengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, z.B. die leere Teilmenge und die Gesamtmenge. Offene Bälle sind in der Tat offen und abgeschlossene Bälle sind abgeschlossen, siehe Aufgabe und Aufgabe.


Die offenen Mengen in einem metrischen Raum bilden somit eine Topologie im Sinne der folgenden Definition.

Definition 

Ein topologischer Raum besteht aus einer Menge zusammen mit einer Teilmenge der Potenzmenge von , die folgende strukturelle Bedingungen erfüllt (die Teilmengen , die zu gehören, nennt man offene Mengen).

  1. Die leere Menge und die ganze Menge sind offen (d.h. gehören zu ).
  2. Der Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen ist wieder offen, d.h. mit ist auch .
  3. Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist wieder offen, d.h. mit für jedes (zu einer beliebigen Indexmenge ) ist auch .
Äquivalente Normen

Definition 

Es sei ein -Vektorraum. Zwei Normen und heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Topologie, also die gleichen offenen Mengen definieren.

Wir werden später sehen, dass auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum zwei Normen stets äquivalent sind. Dies bedarf einiger Vorbereitungen, die insbesondere den Begriff der Kompaktheit betreffen.

Kompaktheit

Definition 

Eine Teilmenge eines metrischen Raumes heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl gibt mit

Die Beschränktheit und damit nach der vorstehenden Definition auch die Kompaktheit hängt wesentlich von der gewählten Metrik ab. Es ist wichtig, auch einen Kompaktheitsbegriff zu besitzen, der rein topologisch ist.

Definition 

Ein topologischer Raum heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung

eine endliche Teilmenge derart gibt, dass

ist.

Der folgende Satz heißt Satz von Heine-Borel.

Stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen

Ein metrischer Raum ist dadurch ausgezeichnet, dass es in ihm eine Abstandsfunktion gibt, und dass dadurch zwei Punkte „näher“ zueinander liegen können als zwei andere Punkte. Bei einer Abbildung

zwischen zwei metrischen Räumen kann man sich fragen, inwiefern der Abstand im Werteraum durch den Abstand im Definitionsraum kontrollierbar ist. Sei und der Bildpunkt. Man möchte, dass für Punkte , die „nahe“ an

Die Gestalt der Kugelumgebungen hängt von der Norm bzw. Metrik ab.
Eine Teilmenge ist offen, wenn jeder Punkt darin gleich mit einer vollen Kugelumgebung drin liegt. Bei einer solchen Menge ist es entscheidend, ob die Randpunkte dazu gehören oder nicht.

Stetige Funktionen sind Abbildungen, die in gewissem Sinne die Struktur eines topologischen Raumes erhalten. Das heißt intuitiv: Genügend nahe beieinander liegende Punkte werden auf nahe beieinander liegende Punkte abgebildet. Oder: Wenn man nur nahe genug an einen Punkt heran geht, liegen die Bilder von Punkten in dieser Nähe beliebig nahe am Bild des Punktes.

In der Sprache der Topologie heißt das: Für jede Umgebung des Bildpunktes existiert eine Umgebung des Punktes selbst, die vollständig in die Umgebung des Bildpunktes abgebildet wird.

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiel: Diskrete Topologie
Jede Abbildung von einem diskreten topologischen Raum in einen anderen topologischen Raum ist stetig. Denn für die Menge in der Definition kann man stets eine einpunktige Umgebung wählen.
Beispiel: Indiskrete Topologie
Jede Abbildung von einem topologischen Raum in einen indiskreten topologischen Raum ist stetig. Denn in einem indiskreten topologischen Raum besitzt jeder Punkt nur eine Umgebung, nämlich den gesamten Raum.

Aussagen über stetige Funktionen[Bearbeiten]

In vielen Lehrbüchern wird Stetigkeit nicht über Umgebungen, sondern über offene Mengen definiert:

Proposition: Offene Mengen und Stetigkeit
Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn Urbilder offener Mengen in Y offen in X sind bzw. wenn Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind.
Beweis

Topologische Räume gemeinsam mit stetigen Funktionen bilden die Kategorie der topologischen Räume, kurz . Kurz gesagt: Die Identität ist stetig und die Hintereinanderausführung stetiger Abbildungen ist wieder stetig.

Proposition: Komposition stetiger Funktionen
Seien X, Y und Z topologische Räume. Seien und stetige Funktionen. Dann ist stetig.
Beweis

Isomorphismen in topologischen Räumen[Bearbeiten]

Nachdem wir bereits gesehen haben, dass topologische Räume mit stetigen Abbildungen eine Kategorie bilden, können wir nun auch einfach den Begriff des Isomorphismus in topologischen Räumen definieren. Nur heißen solche Abbildung hier nicht Isomorphismus, sondern Homöomorphismus.

Definition: Homöomorphismus
Sei eine Funktion zwischen topologischen Räumen. Die Funktion f ist ein Homöomorphismus, falls sie stetig ist und eine stetige Umkehrfunktion besitzt.

Zwei topologische Räume heißen homöomorph, wenn ein Homöomorphismus zwischen ihnen existiert.

Homöomorphie unterteilt die Klasse der topologischen Räume in Homöomorphieklassen. Eigenschaften, die entweder für eine ganze Homöomorphieklasse gelten oder nicht gelten heißen topologische Eigenschaften.

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